La règle de trois

Jean Macé,  Notions d'arithmétique élémentaire

CHAPITRE IV

La règle de trois

source de l'image : Chatelet et Condevaux, J'apprends à raisonner CM, p. 180 (image modifiée).

Ce qui a reçu le nom de règle de trois n’est pas, à proprement parler, une règle. C’est l’application pratique des propriétés de la proportion, et, en particulier, de sa propriété capitale : le produit des extrêmes dans la proportion par quotient, leur total dans la proportion par différence sont égaux au produit ou au total des moyens.

 

Le nom de règle de trois a été donné à l’opération qui le porte parce qu’elle consiste: étant donnés trois termes connus d’une proportion, à trouver le quatrième, qui ne l’est pas.

Le nombre inconnu est représenté par un x quand on pose les quatre termes de la proportion sur laquelle on opère dans la règle de trois.

                        x : 832 :: 1 : 8

                        x : 832 :: 8 : 1

Reconnaissez-vous ces deux proportions ? Ce sont celles qui nous ont servi (voir ici) à mettre en proportion les quatre termes des deux formules de la division et de la multiplication, qui ne sont pas autre chose, en fin de compte, que des règles de trois.

Là aussi, on connaît trois termes, l’unité comprise, et l’on va à la recherche du quatrième, quotient ou produit, les deux x que vous avez sous les yeux.

Le produit d’une multiplication étant connu, et l’un de ses facteurs, comment fait-on pour avoir le facteur inconnu ?

On divise par le facteur connu le produit de la multiplication, devenu le dividende d’une division, et le quotient que l’on obtient est le facteur qu’on cherchait.

Opérons sur la formule de la division, mise en proportion :

                        832 X 1 = 832

                        832 : 8  = 104

Nous avons multiplié les deux moyens l’un par l’autre. Le multiplicateur étant l’unité, le multiplicande 832 n’a pas changé de valeur; en le divisant par 8, l’extrême connu, nous avons eu pour quotient 104, l’extrême inconnu.

C’est juste ce que nous aurions fait dans la division de 832 par 8.

Opérons maintenant sur la formule de la multiplication :

                        832 X 8 = 6.656

                        6.656 : 1 = 6.656

Ici encore nous avons fait purement et simplement une multiplication à laquelle il n’y a rien eu à changer, la division par 1, l’extrême connu, ayant laissé le produit tel qu’il était avant la division.

Vous avez là deux exemples frappants de l’égalité des produits dans la multiplication l’un par l’autre des deux extrêmes et des deux moyens; mais il est rare que l’unité soit un des quatre termes de la proportion; je vais vous donner un autre exemple.

Modifions ainsi nos deux proportions.

                        x : 832 :: 4 : 8

                        x : 832 :: 8 : 4

Qu’aurons-nous, l’opération faite ?

                        416 : 832 :: 4 : 8

                        1,664 : 832 :: 8 : 4

Les rapports sont changés ; mais ils demeurent en proportion.

4 est contenu deux fois dans 8, et 410 est contenu 2 fois dans 832.

8 contient 2 fois 4, et 1,664 contient 2 fois 832.

D’où il résulte, pour nous en tenir au dernier cas, que                       

	1.664  =	832 X 2
et	8  =	4 X 2

Par conséquent, la multiplication des extrêmes équivaut à celle-ci :

                        832 X 2 X 4

et la multiplication des moyens à         :

                        832 X 4 X 2

Il n’y a pas de différence possible entre les deux produits ; et il en sera de même pour toute proportion dont les termes auront été bien posés.

II

On distingue deux espèces de règles de trois :

1° La règle de trois simple, dans laquelle les quatre termes de la proportion sont donnés par l’énoncé du problème.

Exemple :

4 hommes ont fait un ouvrage en 6 jours : combien de jours faudra-t-il à 3 hommes pour faire le même ouvrage?

2° La règle de trois composée, dans laquelle l’opération se complique d’un calcul à faire pour dégager les termes de la proportion des données du problème.

8 hommes travaillant 9 heures par jour, ont fait un ouvrage en 6 jours : combien faudra-t-il de jours à 3 hommes travaillant 12 heures par jour, pour faire le même ouvrage?

Exemple :

Simple ou compliquée, la règle de trois ne présente jamais qu’une seule et même difficulté, la mise en place des quatre termes, soit tout donnés, soit trouvés, quand il a fallu les chercher. L’opération va d’elle-même ensuite.

Commençons par le premier problème, celui de la proportion simple.

Nous quittons maintenant les nombres abstraits, pour entrer dans les nombres concrets : il y faudra faire une plus grande dépense de raisonnement; 8 et 6 peuvent toujours être mis en présence ; mais 8 hommes et 6 jours ne peuvent pas se comparer entre eux. La première chose à faire est donc de grouper ensemble dans chaque rapport les valeurs de même nature, les hommes avec les hommes, les jours avec les jours.

Ici, quel est le terme inconnu ? C’est un nombre de jours.

Plaçons l’x en tête de la proportion. C’est la meilleure marche à suivre pour entamer le raisonnement.

Naturellement, nous allons mettre 6, le nombre de jours connu, en présence de l’x, le nombre de jours inconnu, et nous aurons d’abord

x : 6

Maintenant, x doit-il être plus grand, ou plus petit que 6?

Plus grand évidemment, puisqu’il faudra plus de jours à 3 hommes pour faire l’ouvrage que 4 hommes ont fait en 6 jours.

Nous placerons donc 4, le nombre le plus fort des deux qui nous restent, en tête aussi du second rapport, et nous aurons :

x : 6 :: 4 : 3

Il ne nous reste plus qu’à faire l’opération qui nous donnera :

6 X 4 = 24

24 : 3 = 8

Les 3 hommes auront donc à travailler 8 jours, et la preuve que le calcul est juste, c’est qu’il avait fallu 24 journées de travail pour faire l’ouvrage, et que 3 hommes travaillant chacun 8 jours, fourniront juste ces 24 journées, puisque :

3 X 8 = 24

Le second problème, celui de la proportion composée, demande un raisonnement plus compliqué.

Ici ce ne sont plus des hommes en opposition avec les jours, ce sont des heures de travail, le nombre d’heures que chaque équipe d’ouvriers peut faire en un jour. Ces deux nombres, il faut d’abord les trouver avant de les mettre en proportion :

8 X 9 = 72

3 X 12 = 36

La première équipe fournit 72 heures de travail par jour, la seconde 36.

Le nombre de jours de travail qu’exigera de celle-ci le travail à faire sera donc supérieur à 6. Il devra être vis-à-vis de 6 dans la même proportion que 72 vis-à-vis de 36. 72 est donc son terme correspondant, et voilà nos 4 termes en place :

x : 6 :: 72 : 36

Faisons maintenant l’opération :

6 x 72 = 432

432 : 36 = 12

Les 3 ouvriers auront donc à travailler 12 jours et c’est un résultat auquel on pouvait bien s’attendre, 36 étant la moitié de 72, l’équipe donnant 2 fois moins d’heures de travail par jour devrait travailler 2 fois plus de jours. Aussi bien 12 est-il le double de 6, et 12 X 36 = 432. Le moyen qu’il en soit autrement, puisque 12 est le quotient de la division de 432 par 36.

Dans les deux cas qui précèdent le nombre de jours de travail augmente à mesure que le nombre d’hommes ou d’heures de travail diminue. Il diminuerait au contraire à mesure que le nombre d’hommes ou d’heures augmenterait.

Cherchons, par exemple, ce qu’il faudrait de jours à 40 hommes pour un travail fait par 20 hommes en 10 jours.

Après avoir établi le premier rapport x . 10, il est clair qu’il faudrait, cette fois, mettre le plus petit des deux nombres restants en tête du second rapport

x : 10 :: 20 : 40

et l’x se trouverait remplacé par 5 ou 2 fois moins de jours, ce qui allait de soi puisqu’il y a 2 fois plus d’hommes.

Il se présente d’autres cas où les deux valeurs augmentent et diminuent ensemble.

Exemple : que coûteront 36 mètres d’étoffe, 9 mètres ayant coûté 54 francs?

x : 54 devra évidemment se compléter ainsi :: 36 : 9.

Et cet autre problème :

20 journées de travail ayant coûté 900 francs, que coûteront 15 journées,

se résoudra, sans doute possible, par une proportion établie ainsi :

x : 900 :: 15 : 20

La règle de trois est dite directe dans ces deux cas, inverse dans les deux autres.

Les valeurs en présence sont dites alors directement ou inversement proportionnelles, l’une suivant le même chemin que l’autre ou allant en sens inverse. 

Qu’elle soit simple ou composée, directe ou inverse, les conditions de la règle de trois restent les mêmes. C’est toujours en vertu d’un procédé analogue qu’on parvient à mettre les termes de la proportion correctement en place :

Grouper dans chaque rapport les valeurs de même nature, et placer en tête du second rapport le plus fort ou le plus faible de ses deux termes, selon que l’antécédent du premier rapport doit se trouver plus fort ou plus faible que son conséquent.

Le bon sens, seul peut en décider. C’est une question  de raisonnement sur laquelle il n’y a pas de règle à donner.

J’ajouterai le conseil de prendre toujours l’x pour premier antécédent, parce que cela donne au classement une marche méthodique, un point de départ déterminé d’avance. Mais il demeure entendu que l’ordre et la marche de ce classement importent peu, pourvu que la proportion, soit directe, soit inverse, se maintienne égale dans chaque rapport.